평균의 평균 오류

크기가 다른 그룹들의 평균을 다시 단순히 평균 내면 잘못된 값이 나옵니다. 각 그룹의 크기를 반영한 가중평균(weighted average)을 써야 맞습니다.

예를 들어 A반 20명의 평균이 82점, B반 30명의 평균이 72점이라고 합시다. 두 평균을 단순평균하면 (82+72)/2 = 77점입니다. 하지만 이건 틀렸습니다.

올바른 계산은 사람 수로 가중하는 것입니다. (20×82 + 30×72) / 50 = 76점. 인원이 더 많은 B반 쪽으로 전체 평균이 끌려가기 때문입니다. 그룹 크기 차이를 무시하면 이렇게 실제와 다른 값이 나옵니다.

그룹 크기를 무시하면 단순히 값이 조금 틀리는 데 그치지 않고, 결론의 방향 자체가 뒤바뀔 수 있습니다. 이를 심슨의 역설(Simpson's paradox)이라고 합니다.

각 그룹 안에서는 어떤 경향이 보이는데, 그룹을 합치면 그 경향이 사라지거나 반대로 나타나는 현상입니다. 이런 역설이 생기는 이유가 바로 그룹마다 크기와 조건이 다르기 때문입니다.

1973년 UC버클리 대학원은 여성을 차별했다는 의심을 받았습니다. 전체 통계로 보면 남성 지원자는 약 44%가 합격한 반면 여성은 약 35%만 합격했기 때문입니다.

그런데 학과별로 뜯어보니 이야기가 달라졌습니다. 대부분의 학과에서 여성의 합격률이 남성과 비슷하거나 오히려 높았습니다. 어떻게 이런 일이 가능할까요?

비밀은 지원 패턴에 있었습니다. 여성이 경쟁률이 높은(합격률이 낮은) 학과에 더 많이 지원했던 것입니다. 그래서 전체를 단순 합산하면 여성이 불리해 보였지만, 학과 규모와 경쟁률을 반영하면 차별이라 보기 어려웠습니다. 층화 분석을 한 연구진은 오히려 여성에게 미세하게 유리했다고 결론지었습니다.

같은 함정이 투자 수익률에도 있습니다. 연도별 수익률을 그냥 산술평균하면, 실제로 손에 쥔 복리 성과와 다른 값이 나옵니다.

예를 들어 첫해 +50%, 다음 해 -50%였다면 산술평균은 0%지만, 실제로는 100원이 150원이 됐다가 75원으로 줄어 -25%가 됩니다. 복리 성과를 제대로 나타내려면 산술평균이 아니라 기하평균(geometric mean)을 써야 합니다.

'평균'이라는 한 단어 뒤에는 이렇게 여러 종류가 숨어 있습니다. 이 사이트는 수익률을 보여줄 때 복리 효과를 올바르게 반영하고, 최대 낙폭과 손실 기간도 함께 표시해 평균 뒤에 가려진 위험을 숨기지 않습니다.