평균의 함정 — 산술평균, 기하평균, CAGR, 로그수익률

산술평균은 흔히 아는 '그냥 평균'입니다. 해마다의 수익률을 더한 뒤 햇수로 나눕니다. 3년 수익률이 +10%, +20%, -10%였다면 산술평균은 6.7%입니다.

기하평균은 곱셈으로 구합니다. 각 해 수익률에 1을 더한 값을 전부 곱한 다음, 햇수만큼의 제곱근을 씌우고 다시 1을 뺍니다. 위 예라면 (1.10 × 1.20 × 0.90)의 세제곱근에서 1을 뺀 값이고, 계산하면 약 5.9%입니다.

기하평균은 우리가 자주 듣는 CAGR(연평균 복리 성장률)과 같은 개념입니다. 매년 똑같은 비율로 자랐다면 몇 %였을까를 되짚은 값이죠.

규칙 하나만 기억하면 됩니다. 기하평균은 절대 산술평균보다 클 수 없습니다. 둘이 같아지는 경우는 매년 수익률이 똑같아 변동이 전혀 없을 때뿐입니다.

100만 원으로 시작합니다. 첫해 +50%면 150만 원이 됩니다. 다음 해 -50%면 그 절반인 75만 원이 되죠.

산술평균을 내면 0%입니다. 마치 제자리처럼 보입니다. 하지만 통장에는 100만 원이 아니라 75만 원이 남아 있습니다. 2년 동안 원금의 4분의 1이 사라진 것입니다.

기하평균으로 계산하면 약 -13.4%가 나옵니다. 최종 배수가 75 ÷ 100 = 0.75이고 2년이니 제곱근을 씌우면 √0.75 ≈ 0.866, 즉 -13.4%입니다. (1.5 × 0.5)의 제곱근에서 1을 뺀 값이 -0.134라고 계산해도 같습니다. 매년 -13.4%씩 두 번 복리로 줄이면 정확히 75만 원에 도달합니다.

산술평균은 기분상의 평균, 기하평균은 통장에 찍히는 결과입니다. 여러 해에 걸친 성과를 말할 때 기하평균을 써야 하는 이유입니다.

이 격차의 뿌리에는 손실의 비대칭이 있습니다. -20%가 나면 원금 100은 80이 됩니다. 여기서 +20%가 붙어도 80 × 1.2 = 96입니다. 손익분기까지는 +25%가 더 필요합니다.

폭이 커질수록 비대칭은 잔인해집니다. 절반이 날아가면 +100%가 있어야 제자리이고, 5분의 1만 남았다면 +400%가 필요합니다.

이유는 단순합니다. 손실이 나면 다음 수익률이 붙을 원금 자체가 줄어듭니다. 같은 비율로는 원래 자리로 돌아올 수 없습니다.

그래서 장기 투자에서는 수익률을 높이는 것만큼 낙폭을 줄이는 일이 중요합니다. 기하평균은 이 사실을 감추지 않고 그대로 보여 주는 지표입니다.

두 평균의 격차를 변동성 드래그(variance drain)라고 부릅니다. 수익률이 크게 출렁일수록 격차가 벌어지고, 잔잔하면 거의 붙습니다.

대략적인 근사식도 있습니다. 기하평균 ≈ 산술평균 - 0.5 × 분산. 분산은 변동성(표준편차)을 제곱한 값이니, 변동이 클수록 빼주는 값이 커집니다. 진짜 복리 수익률이 그만큼 깎이는 셈이죠.

그래서 '연평균 20%인데 매년 롤러코스터'인 자산과 '연평균 12%인데 잔잔한' 자산을 비교하면, 실제로 통장에 남는 복리 결과는 후자가 더 클 수도 있습니다.

광고에서 산술평균만 큼직하게 써 붙이는 경우를 조심해야 하는 이유가 여기 있습니다. 누군가 '연평균 몇 %'라고 말하면, 그게 산술평균인지 기하평균인지를 되물을 수 있어야 합니다.

우리 데이터로 계산하면 ARKK는 2014-10-31부터 2026-08-31까지 총수익 +365.3%, 연평균 +13.87%였습니다. 숫자만 보면 나쁘지 않죠. 그런데 가는 길은 전혀 잔잔하지 않았습니다.

이 자산의 최대 낙폭은 -80.91%였습니다. 2021-02-12 고점에서 2022-12-28 저점까지의 낙폭입니다. 본전까지 필요한 상승은 +423.9%였고, 2026-08-31까지도 이전 고점을 회복하지 못했습니다. 고점 아래에 머문 최장 구간은 1,391거래일로, 한 해 약 252거래일로 환산하면 약 5.5년입니다.

앞서 말한 2020년 한 해만 잘라 보면 총수익 +152.7%입니다. 그 해의 숫자만 본 사람과 약 12년 전체의 +13.87%를 본 사람은 완전히 다른 그림을 갖게 됩니다.

어느 쪽도 거짓말은 아닙니다. 다만 앞의 숫자는 산술평균이 주는 인상이고, 뒤의 숫자는 기하평균이 알려주는 결과입니다. 변동성 드래그란 결국 이 두 숫자 사이의 거리입니다.

CAGR의 공식은 (최종 가치 ÷ 초기 가치)^(1 ÷ 연수) - 1 입니다. 1,000만 원이 5년 뒤 2,000만 원이 됐다면 CAGR은 14.87%입니다. 총수익 100%를 5년으로 나눈 20%가 아닙니다.

같은 지수라도 기간을 어디서 끊느냐에 따라 CAGR이 달라집니다. 미국 S&P 500의 배당 재투자 기준 장기 수익률은 1928년부터 2023년까지 95년 구간에서 연 약 9.8%, 1993년부터 2023년까지 30년 구간에서 연 약 10.4%, 2013년부터 2023년까지 10년 구간에서는 연 약 12.4%로 보고됩니다. 반대로 2000년부터 2010년까지 10년만 잘라 보면 거의 0%에 가까웠습니다.

산술평균과 기하평균의 격차도 여기서 드러납니다. 연도별 수익률을 단순히 더해 나눈 산술평균은 대략 연 11~12% 수준으로 알려져 있고, 배당을 재투자하며 실제로 복리로 불어난 기하평균은 대략 연 10% 안팎입니다. 그 2%포인트 남짓이 변동성 드래그입니다.

CAGR의 또 다른 한계는 경로를 지운다는 점입니다. 같은 CAGR 10%라도 매년 꾸준히 10%였던 경우와 첫해에 반토막이 난 뒤 극적으로 회복한 경우는 전혀 다른 경험입니다. CAGR을 볼 때 최대 낙폭과 변동성을 함께 봐야 하는 이유입니다.

마지막으로 한 가지 도구를 덧붙이겠습니다. 단순수익률은 (기말가격 - 기초가격) ÷ 기초가격입니다. 100원이 110원이 되면 +10%죠.

로그수익률은 ln(기말가격 ÷ 기초가격)입니다. 같은 경우를 계산하면 ln(110/100) ≈ 0.0953, 약 9.53%입니다. 값이 비슷하지만 미묘하게 다릅니다.

로그수익률의 장점은 그냥 더할 수 있다는 점입니다. 1월에 +10%, 2월에 -10%인 경우 단순수익률로는 (1+0.10) × (1-0.10) - 1 = -1%처럼 곱해야 합니다. 로그수익률은 ln(1.1) + ln(0.9) ≈ 0.0953 - 0.1054 = -0.0101, 즉 약 -1%가 덧셈으로 바로 나옵니다.

수익률이 작을수록 두 값은 거의 같아집니다. 차이가 벌어지는 것은 +30%, -40% 같은 큰 변동에서입니다. 절반이 사라진 경우를 로그로 쓰면 ln(0.5) ≈ -0.693이라 -69.3%처럼 보이지만, 실제로 지갑에서 사라진 것은 절반입니다.

그래서 계산 과정에는 로그수익률을, 결과 보고에는 단순수익률과 CAGR을 쓰는 것이 안전합니다. 용도가 다른 도구입니다.