분산과 표준편차의 관계

분산(variance)은 각 데이터가 평균에서 벗어난 정도(편차)를 제곱해서 평균 낸 값이에요.

왜 제곱할까요? 편차는 플러스도 있고 마이너스도 있어서 그냥 더하면 서로 상쇄돼 0이 돼요. 그래서 제곱해 전부 양수로 만든 뒤 평균을 내요.

제곱을 하면 큰 편차가 더 크게 반영되는 효과도 생겨요. 즉 분산은 '멀리 벗어난 값'에 더 민감하게 반응해요.

분산에는 문제가 하나 있어요. 편차를 제곱했기 때문에 단위도 제곱이 돼버려요. 수익률(%)을 제곱하면 '%의 제곱'이라는 이상한 단위가 나오죠.

그래서 분산에 제곱근을 씌워 단위를 원래대로 되돌린 게 표준편차(standard deviation)예요.

- 분산 = 편차² 의 평균 - 표준편차 = √분산

예를 들어 분산이 0.0225(=0.15²)면 표준편차는 0.15, 즉 15%예요. 그래서 실무에서 '변동성 15%'처럼 말할 땐 거의 항상 표준편차를 뜻해요. 분산은 계산 과정, 표준편차는 우리가 읽는 결과값인 셈이에요.

표준편차가 읽기 편한데도 분산이 살아남은 건 '더하기 좋은 성질' 때문이에요.

서로 독립인 자산을 합칠 때, 표준편차는 단순히 더할 수 없지만 분산은 더할 수 있어요. 포트폴리오의 위험을 계산하는 공식(공분산 행렬)이 전부 분산·공분산으로 짜여 있는 이유예요.

정리하면, 계산과 이론은 분산으로 하고, 사람에게 보여줄 땐 제곱근을 씌운 표준편차로 바꿔 말해요. 둘은 같은 정보를 다른 옷으로 입은 거예요.